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¿Qué es la temperatura? Una explicación a través de animaciones

Choque perfectamente elástico de dos esferas ideales.
Choque perfectamente elástico de dos esferas ideales.

Dentro del caos y la aleatoriedad más absolutos podemos encontrar uno de los más sencillos y elegantes modelos matemáticos jamás construido en la historia de la física teórica. Hoy analizaremos la solución el enorme reto al que se enfrentaba la física de finales del siglo XIX: explicar qué cosa era eso que llamamos temperatura. Espero que os resulte amena esta introducción con animaciones y simulaciones, de las aprovecho para liberar el código fuente.

1. Jugando al billar

A cierto galo irreductible lo único que le asustaba en el mundo era que el cielo se cayera un día sobre su cabeza, mucho más que unos cuantos romanos de pacotilla.

Parece una pregunta tonta, pero ¿realmente has pensado alguna vez por qué no se cae el cielo? El aire que nos rodea, la atmósfera de nuestro planeta, llega aproximadamente hasta unos 100km de altura y está formada, principalmente, por moléculas de nitrógeno y oxígeno que sienten toda la fuerza de la gravedad tirando hacia abajo al igual que la sentimos nosotros.

Imagen | Esta preciosa puesta de sol, fotografiada desde la estación espacial ISS, revela perfectamente los pocos kilómetros de atmósfera que nos envuelven
Imagen | Esta preciosa puesta de sol, fotografiada desde la estación espacial ISS, revela perfectamente los pocos kilómetros de atmósfera que nos envuelven

Si un aciago día todas esas moléculas de la atmósfera “cayeran” al suelo formarían una capa sólida de apenas unos 13 metros de altura. Así que, ¿qué es lo que las sostiene “volando” a kilómetros de altura en forma gaseosa e impide que caigan?

Pues sorprendentemente, el puro y duro azar. Esas moléculas que pululan a nuestro alrededor a unos 2,000 km/h sí que están siempre intentando caer, pero una y otra vez se encuentran las unas con las otras y chocan, saliendo “rebotadas”. Sabiendo que más del 99,9% del aire realmente es espacio vacío, siendo el insignificante resto lo que ocupan las moléculas (que, a su vez, internamente también están bastante huecas), resulta sobrecogedor pensar en la astronómica cantidad de choques que deben ocurrir cada segundo a nuestro alrededor para impedir que “el cielo se caiga”.

Veamos un poco más de estos choques, ya que son la clave que explicará qué es la temperatura.

Nos bastará imaginarnos las moléculas del aire como si fueran canicas, pequeñas esferas que vuelan prácticamente libres en líneas rectas [nota 1]. Estamos acostumbrados a pensar que si algo atraviesa el aire a toda leche sufriría un rozamiento importante y se iría frenando. Pero eso no les ocurre a estas “canicas” ya que solamente existe el vacío y ellas, ¡así que no hay nada con lo que puedan “rozar”!

Por tanto lo único que puede interferir en el movimiento rectilíneo de una de estas moléculas es… otra. Y la forma en que interaccionan se pueden definir en palabras muy sencillas: se pegan porrazos de lo lindo unas contra otras. Piensa que aún yendo a miles de km/h no se rompen. No es que sean indestructibles, pero hace falta bastante más velocidad para partirlas.

Exceptuando la velocidad de los choques, un símil perfecto a estas colisiones es cuando en una mesa de billar la bola blanca choca contra otra que permanecía estática: la energía que llevaba la bola móvil se divide entre las dos, de una forma que asegura que la energía del movimiento (llamada energía cinética) antes y después del choque se mantiene constante.

Vamos, aquello de que “la energía no se crea ni se destruye, sino que sólo se transforma“. A este tipo de colisión se llama choque elástico porque no se pierde nada de energía en deformaciones permanentes, y es el tipo de choque que ocurre entre nuestras moléculas-canicas [nota 2]. Como curiosidad, decir que tanto en las moléculas como en las bolas de billar, esa fuerza tan poderosa que no deja que dos cuerpos sólidos se atraviesen mutuamente no es más que la repulsión eléctrica de las cargas negativas que tiene la materia (“cargas de igual tipo se repelen”). Brian Greene ilustró esto muy visualmente en el documental de su libro “El universo elegante” (aquí subieron el vídeo).

2. Resumiendo información en un sólo número

Llegamos por fin a la temperatura: lo que llamamos temperatura es realmente un numerito que indica “cuánto se mueven” en total, todas las moléculas de un objeto o de un volumen de un gas como el aire.

¿Cómo es posible que un único número resuma el estado de trillones de moléculas? Aquí entra en juego el elegante resultado matemático que mencioné al empezar y que viene de mano de los choques entre moléculas.

Sabemos que la energía total de dos objetos que colisionan elásticamente se mantiene constante, aunque lógicamente antes y después del choque cada uno tenga velocidades (y por tanto energías) distintas. Pero la suma, la energía total, no se altera.

Esto mismo se puede extender al choque de muchos objetos: si una única molécula en movimiento entra en una caja cerrada donde hay otras docenas de moléculas inicialmente en reposo, la energía de movimiento (cinética) de la primera se repartirá entre todas las demás. Mejor verlo que imaginarlo: pulsa el play para ver entrar la molécula por la izquierda. Al igual que en el resto de vídeos, recomiendo ponerlo en alta resolución.

¿Cuál será la velocidad final de cada una de las bolitas? Nadie puede decirlo. Fíjate que dependiendo del ángulo de los choques las velocidades tras cada choque no dejan de variar, pudiendo aumentar o disminuir, o incluso detenerse del todo.

Vamos, que la velocidad de una molécula en concreto depende de una forma compleja de sus choques y de las velocidades de todas las demás, algo absolutamente inabordable si pretendemos calcularlo…¡hasta que la estadística viene a nuestro rescate (pero no del bancario, sino del de verdad)!

Uno de los más grandes resultados de la matemática estadística nos dice que si algo (lo que sea, p.ej. la velocidad de una molécula) viene de la combinación de un gran número de sucesos aleatorios independientes (los que sean, p.ej. direcciones de choques), entonces ese algo tendrá valores aleatorios, al azar, pero siguiendo un patrón muy preciso llamado distribución Gaussiana. Esto se llama el teorema del límite central.

Si lo de “sigue una distribución Gaussiana” te parece chino mandarín, esta animación te ayudará a entender qué quiere decir.

Imagina que mides miles de resultados de un experimento, el que sea, que contiene una parte de azar, o de incertidumbre o un error. La cuestión es que cada vez te sale un número distinto: un -1, un 2, un -0,5, etc. La línea negra del dibujo representa cada uno de esos resultados, por eso va dando saltos al azar.

Para hacernos una idea de cuántas veces sale “casi -1″, o “casi 2″, etc. vamos contando las veces que el resultado cae en una serie de divisiones horizontales, y eso son las barras azules que crecen cada vez que la línea negra las toca. La forma que acaban teniendo las barras azules se llama función densidad de probabilidad y a pesar de ser algo basado en el azar, siempre acabará teniendo una forma concreta y bien definida para cada experimento. La que ves abajo es precisamente una campana de Gauss, la misma distribución Gaussiana que nos apareció antes.

Ejemplo de una variable aleatoria con distribución Gaussiana
Ejemplo de una variable aleatoria con distribución Gaussiana

Pues bien: lo que llamamos temperatura no es más que un reflejo de estas campanas de Gauss y del Teorema que dice que muchas variables aleatorias acaban siendo Gaussianas. No importa por qué medio calentemos un gas, si disparándole moléculas rápidas como en la simulación de arriba o cualquier otro método, al final lo que hacemos es aumentar su energía cinética total.

Tras un tiempo, esa energía total acabará distribuyéndose entre todas las moléculas de forma que las velocidades en las direcciones arriba/abajo, izquierda/derecha y adelante/atrás serán todas distribuciones Gaussianas. Al mezclar las velocidades en las tres dimensiones del espacio acaba saliendo que la velocidad tridimensional ya no es Gaussiana, sino una combinación de ellas de una determinada forma que los matemáticos llaman distribución chi y los físicos distribución de Maxwell-Boltzmann.

Pero ambas son la misma cosa y lo bello del asunto es que en el fondo… ¡se reducen a combinaciones de sencillas Gaussianas! Así es como existe una relación inequívoca entre la energía total de un gas (que llamamos temperatura) y las velocidades de todas sus moléculas una vez se ha alcanzado el equilibrio, dado por esas dos distribuciones.

3. Un simulador de temperatura: algunos experimentos

Imagina que disparamos un montón de moléculas “calientes” (que se mueven rápido) dentro de nuestro recipiente cerrado donde hay otras moléculas en reposo. Ya hemos visto qué acabará pasando: que las velocidades se irán repartiendo entre todas hasta llegar a distribuciones Gaussianas en cada dirección.

Cuando esto ocurra, se dice que ha llegado el equilibrio térmico y en el siguiente vídeo se puede ver muy bien: el equilibrio llega cuando el histograma de las velocidades (las barras rojas, que reflejan los datos simulados reales) coincidan con la predicción de la teoría de Maxwell-Boltzmann (la línea de azul).

Fíjate que la curva no tiene la forma exacta de una campana de Gauss porque es la velocidad ya medida en dos dimensiones (recuerda que las Gaussianas son las velocidades en horizontal y vertical únicamente).

El pequeño error entre las barras rojas (la simulación) y la azul (predicción) viene únicamente de que he usado muy pocas moléculas. Cuantas más miles de millones de moléculas se unan más exacto demostrará ser el modelo. Por ejemplo, aquí os dejo otro experimento, ahora en tres dimensiones, y con unos cuantos miles de moléculas más. Aquí la predicción es aún más exacta que antes:

Y para terminar con los experimentos, os dejo dos que me parecen chulos: una vez se alcanza el equilibrio térmico, disparamos más moléculas “calientes”. En ese momento, la energía total aumenta, con ella la temperatura del gas y automáticamente veréis cómo cambia la forma de la línea azul de la predicción. Quizás tengas que ver el vídeo dos veces para darte cuenta del detalle. Durante unos segundos, hay una discrepancia entre las velocidades reales y esa predicción, pero poco a poco la velocidad de la partícula caliente se va distribuyendo golpe a golpe con las demás hasta alcanzar un nuevo equilibrio [nota 3]:

(en 2D)

(en 3D: poner en HD o no verás nada)


Quien quiera jugar con el simulador, puede descargarlo (como código fuente en C++) desde aquí

4. Algunos flecos

Reconozco que en lo que he contado hasta ahora me he saltado muchos detalles. Los estaba reservando para los lectores más duros, los que hayan aguantado hasta aquí ;-)

Antes dije que toda la energía del gas se repartía en la energía cinética de cada una de las tres direcciones del espacio. En realidad, el teorema de equipartición asegura que la energía se acabará repartiendo por igual en cada grado de libertad independiente. Esto incluye a las tres direcciones del espacio (arriba/abajo, izquierda/derecha, adelante/atrás) pero también grados de libertad internos a las moléculas, como rotaciones internas y vibraciones distintas formas, que por cierto vienen determinadas de una manera muy elegante por el Álgebra más abstracto.

Una única molécula puede estar calentita y retorcerse en todos sus grados de libertad de forma aleatoria
Una única molécula puede estar calentita y retorcerse en todos sus grados de libertad de forma aleatoria

Seguramente has notado que sólo he hablado de gases, aunque la temperatura sea un concepto que también se aplique a sólidos y líquidos. Realmente el concepto es el mismo (la temperatura mide la energía interna de un cuerpo) pero es mucho más fácil de explicar y entender hablando de gases idealizados, ya que la principal energía que suelen tener es la del movimento (energía cinética).

Otro concepto muy cercano al de temperatura, pero distinto, es el de calor.

Y para terminar, ya sólo para los amantes de las matemáticas y la física con fórmulas, os dejo la relación que he derivado entre la distribución chi y la de Maxwell-Boltzmann. Empezamos con la densidad de probabilidad de la chi de k grados de libertad (normalmente será k=3 para gases moviéndose en tres dimensiones) y con todas las variables Gaussianas estándares:

Sustituyendo el valor de la función Gamma Γ(k/2) para k=3 e introduciendo la varianza σ2 de las Gaussianas mediante el cambio de variables x=v/σ, tenemos:

Que casualmente (¡o más bien no!) coincide con la expresión de Maxwell-Boltzmann derivada a finales del siglo XIX si entendemos la varianza σ2 como la de la velocidad de las moléculas.


Nota 1: Realmente habría que considerar el efecto de la gravedad, y las líneas rectas realmente serían parabólicas. Pero las distancias entre choques son tan relativamente cortas (desde nuestra escala macroscópica, para las moléculas son largas) que esos efectos son despreciables en primera aproximación.

Nota 2: Se verá más adelante que en la realidad no tiene porqué mantenerse la energía cinética, sino la suma total de todas las energías de distintos tipos.

Nota 3: Si te preocupa la conservación de la cantidad de movimiento, habrás notado que la media de las velocidades tras el equilibrio no puede ser de cero ya que si inicialmente una única partícula se movía hacia la derecha, al final la suma de todos los momentos lineales debe mantenerse constante y tener una desviación hacia la derecha. Realmente habrá por tanto una mayor presión en la cara derecha que en la izquierda o, si la caja estuviese libre para moverse, ésta acabaría moviéndose a velocidad uniforme hacia la derecha y con respecto a ella las partículas sí que tendrían entonces velocidades de media exactamente cero.


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Comentarios: 1

  • #1

    furkus (martes, 26 junio 2012 22:01)

    exelente articulo y muy interesante
    pd:me encanta esta web

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