Fractales y dimensiones compactadas, dos factores en oposición geométrica

Según Benoît Mandelbrot, el padre de la geometría fractal, la primera chispa de dicha teoría saltó el 20 de junio de 1877 en una carta del matemático Georg Cantor a su fiel confidente, y también matemático, Richard Dedekind.

En ella le confesaba sus inquietudes sobre la propia validez del concepto mismo de dimensión, pues creía haber demostrado que un cuadrado no contiene más puntos que los que contiene cada uno de sus lados. El concepto de dimensión sobrevivió a aquello (el  propio Dedekind no tardó en demostrarlo), pero las ramificaciones de la discusión que se generó marcaron una especie de segunda revolución antieuclidiana (la primera fue protagonizada por Lobachevski-Bolyai y Riemann, contra el  quinto postulado que hace referencia a las paralelas).

Factor dimensional que se añade a la dimensión topológica

La geometría euclidiana reconoce puntos (dimensión 0), líneas (dimensión 1), planos (dimensión 2), etc, la nueva geometría nos descubre objetos con dimensión, no necesariamente entera, capaces de estar entre el punto y la recta, entre la recta y el plano o entre el plano y el espacio, por ejemplo.

Podemos encontrar líneas, con dimensión topológica 1, capaz de recubrir la superficie de un cuadrado de dimensión 2, o de quedarse a medio camino con dimensión 1,35. Concretamente, la línea capaz de conseguir esto es un fractal de dimensión 1,35: este valor dimensional es el resultado de sumar al valor 1, de la dimensión topológica, otro factor dimensional de valor 0,35 que representa el grado de irregularidad del fractal

 

 

"Los objetos fractales son capaces de ocupar regiones del espacio de mayor dimensión que su dimensión topológica. Una línea fractal será capaz de ocupar un espacio de dimensión mayor que 1, dependiendo de su irregularidad, al igual que una superficie fractal podrá ocupar un espacio de dimensión mayor que 2"

Dimensión fractal relativa

En fractales con dimensión topológica superior a la unidad puede ser útil dividir la dimensión fractal por la topológica. Reducimos así la dispersión de resultados y encontramos más fácilmente símiles con ejemplos sencillos como trayectorias unidimensionales. Podemos tener dos fractales con la misma dimensión siendo muy diferentes: supongamos una línea fractal muy intrincada de dimensión 3 (capaz de recubrir un espacio) y un plano también de dimensión fractal 3.

En el primer caso la dimensión fractal relativa seguiría siendo 3, pero en el segundo caso sería 3/2, considerablemente menor y, por tanto, mucho menos irregular. Este valor tiene la ventaja, también, de que nos conduce fácilmente a averiguar la dependencia del valor del fractal con la distancia y viceversa (ver la dependencia espacial de los fractales).

Factor dimensional que se resta a la dimensión topológica

A la operación de sumar un factor dimensional, que cuantifica el grado de irregularidad y de fragmentación del fractal, podemos oponer una operación  inversa de resta de dimensiones de forma más o menos sencilla. Una forma simple, por ejemplo, podría ser la operación de enrollar una cuartilla de papel muy fino hasta dejarla convertida en un hilo: de tener  dos dimensiones habríamos pasado a tener sólo una dimensión significativa. A un objeto de dimensión 2 le habríamos restado una dimensión. En realidad, la misma cuartilla puede ocupar, de hecho, más de dos dimensiones, si la arrugamos a lo largo de toda su integridad, y sólo una dimensión si la enrollamos.

Recopilando.- La dimensión fractal tiene dos componentes que se suman, la dimensión topológica y un coeficiente dimensional positivo. El hecho de hacer desaparecer una dimensión, en mayor o menor grado, resta un coeficiente dimensional a la dimensión topológica. Se realiza una operación opuesta al coeficiente positivo y, por tanto, se disminuye la dimensión fractal.

¿Utilidad?

Los flujos turbulentos son fractales. Es posible diseñar cavidades capaces de restar un factor dimensional adecuado que  rebaje el factor dimensional turbulento.  Para una turbulencia  caracterizada por una longitud d, grosso modo,  d/10 puede ser lo suficientemente pequeño para introducir un valor de corrección adecuado si se compacta, en ese orden,  alguna de las dimensiones de la cavidad.

Generalizando.- Supongamos un fractal de d dimensiones espaciales y un factor dimensional e, por tanto, con una dimensión fractal (d+ e). Para estos valores obtendremos una dimensión fractal relativa de  (d+ e)/d. Si se aplica una transformación T, similar al hecho de enrollar la cuartilla, de forma que enrollamos e dimensiones del total de d, tal que

Este efecto al disminuir la dimensión fractal rebaja el grado de irregularidad, lo que conlleva un factor de estabilización que puede llegar a  ser realmente grande dependiendo de los valores de  “δ ” y  ”ε ” (ver nota1). La dependencia del valor del fractal con la distancia también queda afectada, y en determinados fenómenos turbulentos eso puede llegar a ser lo más interesante..

Epílogo.-Un objeto geométrico euclidiano de dimensión D, que posee una forma sumamente irregular, o bien sumamente interrumpida o fragmentada – sea cual sea la escala en que se somete a examen-  es capaz de ocupar un espacio geométrico de dimensión Dfractal , mayor que D. Cuanto mayor sea la irregularidad que lo caracteriza, mayor será la diferencia entre D y Dfractal.

Esa es la esencia de la idea que inquietaba a Cantor, al escribir la carta a su amigo Dedekind. La chispa de la nueva geometría fractal que desarrolló, en el último cuarto del siglo XX, el matemático  Benoît Mandelbrot. El efecto geométrico de restar dimensiones actúa en oposición  al factor  dimensional   (D – Dfractal ) que caracteriza la irregularidad de los objetos fractales.

Nota 1: En base a este efecto de corrección del coeficiente dimensional fractal, y suponiéndole naturaleza fractal a la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío, he desarrollado una hipótesis , todavía en “fase alfa”, sobre el vacío cuántico que podéis leer en la revista Elementos de la Universidad de Puebla  (un esbozo), y algo más en la revista Ciencia abierta de la Universidad de Chile.

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